มีการศึกษารูปแบบการเล่นและที่มาทางประวัติศาสตร์ของเกมลูกเต๋า

ลูกเต๋า เป็นหนึ่งในอุปกรณ์ การพนัน ที่เก่าแก่ที่สุด ในบทความนี้ผมจะพูดถึงแต่ลูกเต๋าสมัยใหม่มาตรฐานเท่านั้น ลูกเต๋าประเภทนี้เป็นลูกบาศก์โดยธรรมชาติ และแต่ละด้านมีหลายจุด จุดคือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ผลรวมของแต้มด้านตรงข้ามคือ 7 ดังนั้นด้าน 6 ของลูกเต๋า ลูกเต๋า แบ่งออกได้เป็น 3 คู่ คือ 1 และ 6, 2 และ 5, 3 และ 4 มีรูปแบบใบหน้าของลูกเต๋าสองแบบตามคุณสมบัตินี้ และสองวิธีนี้เป็นภาพสะท้อนของกันและกัน ในปัจจุบัน ลูกเต๋าเกือบทั้งหมดที่ทำในตะวันตกมีสามหน้า 1, 2 และ 3 เรียงตามเข็มนาฬิการอบจุดยอดทั่วไป เคยได้ยินมาว่าที่ญี่ปุ่น ลูกเต๋าแบบม้วนมือนี้ใช้ทุก เกม ยกเว้นไพ่นกกระจอก ไพ่นกกระจอกเป็นเกมที่ใช้ลูกเต๋าสะท้อน และต่อจากนี้ไป ฉันจะใช้ลูกเต๋าแบบตะวันตก เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

ลูกเต๋ามักจะทอยเป็นคู่เพื่อให้ได้ผลรวมตามที่ต้องการ ขั้นแรกให้ถือว่าลูกเต๋านั้น "ยุติธรรม" เพื่อให้แต่ละฝ่ายมีโอกาส 1/6 ที่จะทอย ในการคำนวณความน่าจะเป็นของจำนวนคะแนนทั้งหมด เราต้องค้นหาว่ามีกี่สถานการณ์ที่สามารถนำไปสู่จำนวนคะแนนทั้งหมดนี้ได้ จากนั้นเราหารตัวเลขนี้ด้วย 36 จำนวนคู่ของลูกเต๋าทั้งหมด (โปรดทราบว่าต้องแยกความแตกต่างระหว่างสองลูกเต๋า)

ช่วยให้เข้าใจปัญหาโดยจินตนาการว่าตัวหนึ่งเป็นสีแดงและอีกตัวเป็นสีน้ำเงิน ด้วยวิธีนี้ ตัวอย่างเช่น จำนวนทั้งหมด 12 สามารถมีได้เพียงกรณีเดียว นั่นคือ ลูกเต๋าสีแดงทอย 6 แต้ม และลูกเต๋าสีน้ำเงินได้ 6 แต้มเช่นกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นของจำนวนทั้งหมด 12 คือ 1/36 นอกจากนี้ สามารถรับได้ทั้งหมด 11 ในสองกรณี นั่นคือ ลูกเต๋าแดงทอย 6 ลูกเต๋าสีน้ำเงินทอย 5 หรือลูกเต๋าแดงทอย 5 ลูกเต๋าสีน้ำเงินทอย 6 ดังนั้นความน่าจะเป็นของจำนวนคะแนนทั้งหมดคือ 11 คือ 2/36 ซึ่งเท่ากับ 1/18

นักคณิตศาสตร์และปราชญ์ผู้ยิ่งใหญ่ กอตต์ฟรีด ไลบนิซ เชื่อว่าโอกาสของการหมุน 11 และ 12 จะต้องเท่ากัน เพราะในความเห็นของเขา มีเพียงกรณีเดียวเท่านั้นที่ทอยได้ทั้งหมด 11 ครั้ง นั่นคือ การทอยลูกเต๋า 6 ครั้ง และ ลูกเต๋าอื่น ๆ ทอย 5 มีปัญหาหลายประการกับทฤษฎีนี้ บางทีปัญหาที่โดดเด่นที่สุดคือมันขัดแย้งกับผลการทดลองอย่างสิ้นเชิง ผลการทดลองแสดงให้เห็นว่าการหมุน 11 มีโอกาสเป็นสองเท่าของการหมุน 12 ปัญหาอีกประการหนึ่งคือ ทฤษฎีนี้จะนำไปสู่ข้อสรุปที่ไม่น่าเชื่อถือว่าความน่าจะเป็นของลูกเต๋าสองลูกที่ทอยลูกเต๋าจำนวนหนึ่ง ไม่ว่ามันจะเป็นอะไรก็ตาม มีค่าน้อยกว่า 1

ในเกมหนึ่ง craps ความรู้สึกโดยสัญชาตญาณของความน่าจะเป็นเหล่านี้มีบทบาทสำคัญ การพนันแคร็ปส์เกิดขึ้นในยุค 1840 ในการพนันประเภทนี้ ผู้เล่น (ฝ่ายที่โยนลูกเต๋า) จะวางเงินเดิมพันจำนวนหนึ่ง ผู้เล่นคนอื่น "จาง" ซึ่งก็คือการเดิมพันจำนวนเงินที่พวกเขาเลือกเอง หากจำนวนเงินที่จะตามมาน้อยกว่าเงินเดิมพันเริ่มต้นของผู้ยิงเขาจะลดเงินเดิมพันให้เท่ากับยอดรวมนี้ ผู้ขว้างปาจะเริ่มทอยลูกเต๋าหนึ่งคู่ หากทอยลูกเต๋าครั้งแรกรวมเป็น 7 หรือ 11 (เรียกว่า "เนเชอรัล") เขาจะชนะการเดิมพันทันที หากทอยลูกเต๋าครั้งแรกรวมเป็น 2, 3 หรือ 12 ("แครปส์") เขาจะเสียเดิมพัน ในกรณีอื่นๆ จำนวนแต้มทั้งหมดที่ผู้ยิงหมุนก่อน นั่นคือ 4, 5, 6, 8, 9 หรือ 10 คือ "คะแนน" ณ จุดนี้เขาต้องหมุนต่อไป พยายามหมุนอีกครั้งเพื่อให้ได้คะแนนแล้ว 7 ("คลานออกไป") ถ้าเขาหมุนผลลัพธ์นั้นได้ เขาจะชนะเดิมพันทั้งหมด มิฉะนั้น เขาจะเสียทุกอย่าง

จากความน่าจะเป็นที่กล่าวถึงข้างต้นและกฎของการเดิมพันนี้ โอกาสที่ผู้โยนจะชนะคือ 244/495 หรือประมาณ 49.3% นี่เป็นเพียงน้อยกว่าโอกาสที่เท่าเทียมกันในการชนะหรือแพ้ (50%) นักพนันมืออาชีพสามารถเปลี่ยนข้อเสียเล็กๆ น้อยๆ นี้เป็นข้อได้เปรียบได้สองทาง วิธีหนึ่งคือยอมรับหรือปฏิเสธ "เดิมพันข้าง" ต่างๆ (นั่นคือ เดิมพันที่เกินเดิมพันปกติ) กับผู้เล่นอื่น อีกวิธีหนึ่งคือการโกงและใช้ทอยลูกเต๋าในลักษณะที่ยุ่งยากในการเล่นการพนัน

มีหลายวิธีในการเล่นกับลูกเต๋า สามารถตัดแต่งด้านข้างของลูกเต๋าได้อย่างละเอียดเพื่อไม่ให้มุมของลูกเต๋าเป็นมุมฉาก หรือลูกเต๋าสามารถ "นำ" ด้วยของหนักได้ ทั้งสองวิธีนี้ทำให้การทอยลูกเต๋ามีโอกาสมากกว่าวิธีอื่นๆ เคล็ดลับที่น่าทึ่งกว่าคือการใช้ "บน" และ "ล่าง" แทนลูกเต๋ามาตรฐาน ลูกเต๋าสองลูกมีแต้มต่างกันเพียง 3 แต้มในแต่ละด้าน (จำนวนแต้มเท่ากันในแต่ละด้าน) เนื่องจากผู้เล่นคนใดสามารถเห็นการตายได้ไม่เกิน 3 ด้านในคราวเดียว และด้านที่อยู่ติดกันทั้งหมดมีค่าไม่เหมือนกัน ดูเหมือนว่าจะไม่มีอะไรผิดปกติในแวบแรก อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถรับประกันได้ว่าใบหน้าจะอยู่ในลำดับมาตรฐานบนจุดยอดทั้งหมด อันที่จริง หากใบหน้าทั้งสามที่มีจุด 1, 3 และ 5 ถูกจัดเรียงในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาบนจุดยอด ดังนั้นใบหน้าทั้งสามนี้จะต้องจัดเรียงตามเข็มนาฬิกาบนจุดยอดที่อยู่ติดกัน

ในลูกเต๋าชนิดหนึ่ง ลูกเต๋าบนและล่างใช้เพื่อวัตถุประสงค์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ด้วยลูกเต๋า 1-3-5 คู่ มันเป็นไปไม่ได้ที่จะทอยทั้งหมด 7 ลูก ดังนั้นผู้เล่นจึงไม่สามารถเล่นด้วยลูกเต๋าดังกล่าวได้ หากคุณรวมลูกเต๋า 1-3-5 กับลูกเต๋า 2-4-6 คุณจะไม่สามารถได้จำนวนเต็มคู่ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่ผู้เล่นจะหมุน 4, 6, 8 หรือ 10 ของแต้มทั้งหมดเหล่านี้ หากไม่มีใครสังเกตเห็นกลโกงเหล่านี้ ไม่ควรใช้ลูกเต๋าอันดับต้นๆ มากเกินไป เช่นเดียวกับการทอยลูกเต๋าที่เท่ากันอย่างสม่ำเสมอ แม้แต่นักพนันที่ไม่มีประสบการณ์ที่สุดก็ยังน่าสงสัย

ลูกเล่นหรือลูกเล่นมากมายที่เล่นในงานปาร์ตี้ใช้ลูกเต๋า กลเม็ดเหล่านี้บางส่วนใช้ประโยชน์จากกฎที่ว่าผลรวมของแต้มที่อยู่ฝั่งตรงข้ามของลูกเต๋าคือ 7 Martin Garner ได้แนะนำเคล็ดลับในหนังสือของเขา Mathematical Magic นักมายากลหันกลับมาและขอให้ผู้ชมทอยลูกเต๋ามาตรฐานสามลูก แล้วบวกแต้มบนใบหน้าที่หงายขึ้น นักมายากลขอให้ผู้ถูกหลอกหยิบลูกเต๋าตัวใดตัวหนึ่งแล้วบวกตัวเลขที่อยู่ด้านล่างของยอดรวมก่อนหน้า สุดท้าย ผู้ชมทอยลูกเต๋าอีกครั้ง เพิ่มคะแนนจากด้านบนเป็นยอดรวมที่สอง (เขาต้องจำผลรวมทั้งหมดเหล่านี้ด้วยตัวเขาเอง) ตอนนี้นักมายากลหันกลับมาและรายงานผลอย่างลวกๆ ว่าผลลัพธ์เป็นอย่างไร ถึงแม้ว่าเธอจะไม่รู้ว่าคนดูเลือกลูกเต๋าชิ้นไหน

ความลับคืออะไร? สมมติว่าตัวเลขที่อยู่ด้านบนของลูกเต๋าเหล่านี้คือ a, b และ c และแนวคิดเลือกลูกเต๋า ผลรวมเริ่มต้นคือ a+b+c บวก 7-a เข้ากับผลรวมนี้ แล้วคุณจะได้ b+c+7 จากนั้นทอยลูกเต๋าอีกครั้ง ได้ d ดังนั้นผลลัพธ์สุดท้ายคือ d+b+c+7 จากนั้นนักมายากลจะดูลูกเต๋าสามลูก ผลรวมของแต้มที่หงายขึ้นคือ d+b+c ดังนั้นนักมายากลต้องบวกเลข 3 ตัวอย่างรวดเร็วแล้วบวก 7 เท่านี้ก็เรียบร้อย

Henry Ernest Dudene ผู้เชี่ยวชาญด้านปริศนาชาวอังกฤษ แนะนำเคล็ดลับอื่นในหนังสือของเขา (Fun Math) นักมายากลยังคงหันกลับมาและขอให้ผู้ชมทอยลูกเต๋า แต่ตอนนี้เธอขอให้ผู้ถูกหลอกคูณจำนวนลูกเต๋าแรกด้วย 2 และบวก 5 คูณผลลัพธ์ด้วย 5 เพิ่มจำนวนของลูกเต๋าที่สองแล้วคูณผลลัพธ์ด้วย 10 และสุดท้ายก็บวกตัวเลขจากที่สาม ตาย. หลังจากทราบผล นักมายากลก็รายงานจำนวนแต้มที่ลูกเต๋าทั้งสามทอยทันที โดยธรรมชาติแล้ว ผลลัพธ์สุดท้ายที่ได้รับจากผู้ชมคือ 10(5(2a+5)+b)+c ซึ่งก็คือ 100a+10b+c+250 ดังนั้น นักมายากลจึงต้องลบ 250 ออกจากผลลัพธ์นี้เท่านั้น และสาม ตัวเลขในสามหลักที่เหลือ คือ สามตัวตามลำดับ จำนวนการทอยลูกเต๋า ปัญหาอื่นๆ ของลูกเต๋าที่เกี่ยวข้องกับการดัดแปลงลูกเต๋าที่มีอันดับที่ไม่ได้มาตรฐาน ตัวอย่างเช่น ผู้อ่านสามารถคิดหาวิธีกำหนดแต้มให้กับคู่ของลูกเต๋าโดยใช้เพียงตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 เพื่อให้ผลรวมของแต้มทั้งหมดหลังจากทอยทั้งคู่ สถานการณ์ที่เป็นไปได้ (จาก 1 ถึง 12) มีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นเท่ากัน (คำตอบในตอนท้ายของบทความนี้)? บางทีปรากฏการณ์ลูกเต๋าที่ไม่เป็นธรรมชาติมากที่สุดคือสิ่งที่เรียกว่า "ลูกเต๋าที่ไม่สามารถส่งมอบได้" ทำ 3 ลูกเต๋า A, B, C, จุดแต่ละด้านมีดังนี้: A: 334488 B: 115599 C: 226677

หลังจากทอยหลายครั้ง ดาย B โดยเฉลี่ยแล้ว ดาย A มีประสิทธิภาพเหนือกว่าดาย A ในความเป็นจริง มีโอกาส 5/9 ที่ลูกเต๋า B จะทอยมากกว่าลูกเต๋า A ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋า C จะหมุนมากกว่าลูกเต๋า B คือ 5/9 โดยเฉลี่ยแล้ว ลูกเต๋า C ควรทอยคะแนนมากกว่า ใช่มั้ย? ไม่ ค่อนข้างตรงกันข้าม มีโอกาส 5/9 ที่ลูกเต๋า A จะทอยคะแนนมากกว่าลูกเต๋า C แผนภาพที่แนบมานี้แสดงเหตุผลสำหรับข้อความข้างต้น คุณสามารถทำเงินได้มากมายกับลูกเต๋าชุดนี้! ให้คู่ต่อสู้ที่เล่นการพนันของคุณเลือกลูกเต๋าใดก็ได้ จากนั้นคุณจึงเลือกลูกเต๋าที่สามารถเอาชนะเขาได้ (หลังจากการทอยหลายครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าของคุณจะเกินลูกเต๋าของฝ่ายตรงข้ามจะมากกว่า 1/2) และเล่นเกมซ้ำ คุณจะชนะ 55.55% ของการเดิมพันทั้งหมด แต่คู่ต่อสู้ของคุณมีอิสระที่จะเลือกลูกเต๋าที่ "ดีที่สุด" ที่เขาคิด!